1 Die Zufallsvariable und ihre Verteilungen

1.1 Der Begriff der Zufallsvariable

Als Zufallsvariable X wird eine Abbildung bezeichnet, die jedem möglichen Ereignis eines Zufallsvorganges eine reelle Zahl zuordnet.
->
Rechnen mit der Zufallsvariable bietet sich an, wenn es sich um sehr viele Ereignisse handelt (Unfälle) oder die Zahl der Ereignisse nicht festlegbar ist (Wartezeit an der Kasse)
Jedes Ereignis läßt sich in eine reelle Zahl umwandeln (z.B. Kopf=1 und Zahl=0 beim Münzwurf)
Diskrete Zufallsvariable: Wertebereich ist endlich oder abzählbar (ganze Zahlen, z.B. Zahl der Unfälle)
Stetige Zufallsvariable: Wertebereich überabzählbar (reelle Zahlen, z.B. Wartezeit)
Nährungsweise stetig: große Geldbeträge, da es sich hier durch marginale Pfennigbeträge um sehr sehr viele Ereignisse handelt.

1.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete Variablen

1.2.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Verteilungsfunktion:

->F(2,5)=p₀+p₁+p₂

Problem: Durch die Begrenzung der Beobachtungswerte können nicht alle möglichen Ereignisse erfasst werden. Daher sind diese Berechnungsmethoden nur näherungsweise.

1.2.2 Binomialverteilung der diskreten Zufallsvariable

Voraussetzungen:

Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis ist gleich.
->
Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig

Beispiel:

Ein Händler erhält im Laufe eines Tages n Schecks. X ist die Zahl der ungedeckten Schecks unter den n erhaltenen.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion p_k=P(X=k) mit k=0,1,2,...,n.

X=X₁+X₂+...+X_n

1.2.3 Hypergeometrische Verteilung diskreter Zufallsvariablen

Beispiel:

Gütekontrolle von CD-Rohlingen

Hersteller verspricht, dass sich in einer Packung à 100 Stk. max. 3 defekte Rohlinge befinden.

Abnehmer prüft n Stück aus einer Packung. X ist dabei die Zahl der defekten Rohlinge in der Stichprobe.

N=Umfang der Gesamtheit (Packungsinhalt)

M=Anzahl der defekten Einheiten in der Gesamtheit (Annahme: ungünstigster zulässiger Fall für den Hersteller, d.h. 3 Stück)

n=Stichprobenumfang

Betrachtete Stichprobe: N=100; M=3 und n=10

->Ergebnis: Sollte der Hersteller eine Probe mit 3 defekten Rohlingen haben, so sind Zweifel an der Glaubwürdigkeit der Herstellerangaben zu stellen
->Die Toleranzgrenze, damit eine Angabe als realistisch erscheint, liegt bei 5%

Binominalverteilung: jedes Element wird nach Prüfung wieder in die Menge zurückgelegt

Hypergeometrische Verteilung: jedes Element wird nach der Prüfung nicht zurückgelegt

1.2.4 Poisson-Verteilung

->für Zufallsvariablen, für die kein Maximalwert feststellbar ist (z.B. Anzahl der Autounfälle, Zahl von Rohrbrüchen oder Anrufen)

1.3 Stetige Verteilungen der Zufallsvariable

1.3.1 Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

Bsp.: Täglicher Wasserverbrauch pro Tag oder Wartezeit an der Kasse

->keine exakte Messung möglich
->daher
->es gibt daher keine Wahrscheinlichkeitsfunktion, sondern nur eine Dichtefunktion

Wahrscheinlichkeit für x innerhalb eines Intervalls:

Da mit sinkendem h die Kurve immer flacher verläuft, wird sie durch h dividiert.

Durch die unendlich große Zahl der Wert lässt sich die Verteilungsfunktion nicht als Summe der Werte darstellen, sondern nur als Fläche unter der Dichtefunktion

1.3.2 Gleichverteilung

->Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens ist für jedes Element gleich
->a = Untere Grenze der Werte

->b = Obere Grenze der Werte

Dichtefunktion

Verteilungsfunktion

1.3.3 Exponentialverteilung

Beispiel: Abstand zwischen 2 Anrufen in einer Telefonzentrale

k ist mittlere Anzahl der Ereignisse pro Einheit (z.B. Anrufe pro Minute

Dichtefunktion

Verteilungsfunktion

F(x) ist monoton wachsend

Besonderheit der Exponentialverteilung:

Es gilt:

Betrachtung der bedingten Wahrscheinlichkeit:

P(X>x+h/X>h) (Interpretation: z.B. Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten x Minuten kein Anruf kommt, unter der Bedingung, dass bereits h Minuten vergangen sind.

Somit ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit =Nichtalterung

Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten x Minuten kein Anruf kommt ist immer gleich, egal wie viel Zeit seit dem letzten Anruf bereits vergangen ist

Diese Betrachtung gilt nur für die Exponentialverteilung.