1         Lineare Gleichungssysteme

Allgemeine Form:

Matrizenschreibweise:

  ->A*x=b -> 

wenn die inverse Matrix von A existiert, gilt: x=A^-1*b

->dies erspart Arbeit, wenn A^-1 einmal berechnet ist, und sich die Werte für b ändern

1.1      Der Gaußsche Algorithmus

Stück für Stück werden im Gleichungssystem die variablen eliminiert, so dass in der ersten Gleichung nur noch x₁, in der zweiten x₂ usw. steht.

->Ziel ist es, folgende Matrix zu erhalten: 

1.2      Lösbarkeit von Gleichungssystemen

• n= Zahl der Variablen
• m = Zahl der Gleichungen
• r = Dimension der erreichten Einheitsmatrix nach dem gaußschen Algorithmus (die nicht eliminierbaren Variablen gehören somit nicht dazu)
• Beispiele:
• Ein Gleichungssystem ist lösbar, wenn gilt:
• r=m
• oder r<m und alle anderen Zeilen, die nicht in der Einheitsmatrix sind, sind komplett Null und b_i ist auch 0
• Wenn ein Lösungssystem lösbar ist, so gibt es:
• 1 Lösung, wenn n=r
• unendlich viele Lösungen, wenn n>r

1.3      Bestimmung der inversen Matrix

• Lösung des folgenden Gleichungssystems: (A|I) ->durch Gauß zu ->(I| A^-1)
• 
  
• dabei wird jede Spalte des Einheitsvektor als Gleichungssystemvektor b angesehen, d.h. es werden n Gleichungssysteme gleichzeitig gelöst

1.4      Input-Output-Modelle nach Leontieff

• Es gilt:
• Um eine Normung der x_ij-Beträge durchzuführen und somit stabiliere Kennzahlen zu erhalten, berechnet man die Produktionskoeffizienten   ->x_ij=a_ij*X_j
• Die Tabelle aller a_ij ergibt die Matrix A
• Es gilt somit:
  
• Somit gilt: y= (I-A)x

Sollten statt Geldbeträgen Mengeneinheiten angegeben sein und die Verrechnungspreise gesucht, so ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:

Gesamtleistung Stelle 1 * x₁ = Primärkosten Stelle 1 + Summe(Empfange Leistungen von anderen Stellen * x_i) ->x_i = Verrechnungspreis der Stelle i

->diese Gleichung wird für jede Stelle aufgestellt

Gleichungssystem in Matrixform: