1 Vektoren und Matrizen

1.1 Vergleichsoperationen, Addition und Subtraktion

• Matrix = rechteckiges Zahlenschema
• Bezeichnung mit lateinischen Großbuchstaben
  
• Elemente der Matrix werden in Kleinbuchstaben angeben
  ->a₁₂= das Element der Matrix, was in der 1. Spalte in der 2. Zeile steht
• Typ der Matrix: m x n (Spalten x Zeilen)
• Rechenoperationen mit Matrizen:
• Vergleich von Matrizen:
• Gleicher Typ erforderlich
• Gleiche Matrizen stimmen elementweise überein
  A=B -> a_ij=b_ij
• A<B, wenn a_ij<b_ij
  
• A>B analog
• A<=B, wenn a_ij<=b_ij
• A>=B analog
• ->es wird deutlich, dass z.T. keine klare Größenrelationsangabe möglich ist, sondern nur die Angabe, dass zwei Matrizen ungleich sind
• Addition und Subtraktion
• Gleicher Typ erforderlich
• A=(a_ij) und B=(b_ij) Typ: m x n
• C= A+B ->c_ij= a_ij + b_ij
• Subtraktion analog
• Multiplikation mit einem Skalar
• Spezialfall der Addition: C= A+A+A = k * A
  ->c_ij = k*a_ij
• allgemein: D=
• Es gelten folgende Rechenregeln:
• A+B = B+A (Kommutativgesetz)
• A+0 = A (0=Nullmatrix )
• A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C) (Assoziativgesetz)
• a*(A+B) = aA+aB und (a+b)*A = aA+bA (Distributivgesetz)
• A-B = A+ (-1)B

Beispiel:

1.2 Multiplikation von Matrizen

• Grundprinzip der Multiplikation: Zeile mal Spalte!!!
• Matrix mal Spaltenvektor (Spaltenvektor ist ein vertikaler Vektor!)
• b= Ergebnisvektor
• A= Matrix (Typ m x n)
• x=Spaltenvektor mit n Zeilen
• mit
• z.B. b₃ bei einer 3 x 3 Matrix A setzt sich zusammen aus: b₃=a₃₁*x₁+a₃₂*x₂+a₃₃*x₃
• Die Summe der Zeile eines Vektors erhält man durch Multiplikation mit dem Vektor
• Zeilenvektor mal Matrix (Zeilenvektor ist ein horizontaler Vektor)
• c^T=y^T * A
• c^T = Zeilenvektor bzw. transponierter Spaltenvektor
• mit
• Die Summe der Spalte eines Vektors erhält man durch Multiplikation mit dem Vektor
• z.B. c₃ bei einer 3 x 3 Matrix A setzt sich zusammen aus: c₃=a₁₃*y₁+a₂₃*y₂+a₃₃*y₃
• Matrix mal Matrix
• 
• c_ij= i-te Zeile von A * j-te Spalte von B =
• c₂₃ = 2. Zeile von A mit der 3. Spalte von B elementweise verknüpft
  = a₂₁*b₁₃ + a₂₂*b₂₃ + .... +a_2n*b_n3

1.3 Rechenregeln bei der Multiplikation

• A*I_n=A*I_m = A mit I=Einheitsvektor ()
• A*0 = 0*A = 0 (0=Nullmatrix)
• A*(B+C) = AB +AC
• (A+B)*C = AC +BC
• A(BC) = (AB)C = ABC
• Aber: es gilt nicht AB=BA

1.4 Transponierte Matrix

• A^T = transponierte Matrix, d.h. Zeilen und Spalten von A wurden vertauscht
• Ist die transponierte Matrix gleich der Originalmatrix, dann gilt sie als symmetrische Matrix
• Beispiel:

1.5 Division von Matrizen

• A^-1 = inverse Matrix von A ->gibt es nur für quadratische Matrizen
• Es gilt: A*A^-1=A^-1*A=I
• Gleichung: A*B=C
• Ermittlung von A: A*B*B^-1=C*B^-1 (Multiplikation von rechts) ->A=C*B^-1
• Ermittlung von B: A^-1*A*B = A^-1*C (Multiplikation von links) ->B=A^-1*C
• Bestimmung der inversen Matrix für eine 2x2 Matrix:
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