1 Verteilungsparameter und Grenzwertsätze

1.1 Erwartungswert

1.1.1 Diskrete Zufallsvariable

Beispiel: Gewinn bzw Verlust einer Risikolebensversicherung mit Todesfallsumme 100000€ und Jahresbeitrag 500€

Sterbewahrscheinlichkeit = 0,2%

Ereignisse:

k₁=500€ p_k1=P(X=k₁)=0,998

k₂=-99500€ p_k2=P(X=k₂)=0,002

EX=500*0,998+(-99500)*0,002=300

->Der erwartete Ertrag liegt bei 300€

1.1.2 Stetige Zufallsvariable

Beispiel: Erwartungswert bei der Gleichverteilung

1.1.3 Eigenschaften des Erwartungswertes

• Y=X+a ->EY=EX+a
• Y=b*X ->EY=b*EX
• Z=X+Y ->EZ=EX+EY

1.2 Varianz und Standardabweichung

Varianz: VAR(X)=E(X-EX)², mit EX=konst.

Standardabweichung:

1.2.1 Diskrete Zufallsvariablen

Beispiel: Risikolebensversicherung (Daten siehe oben)

VAR(X)=(500-300)²*0,998+(-99500-300)²*0,002=19960000€²

->die tatsächlichen Erträge schwanken im Mittel um 4467,66€ um den Erwartungswert ->Standardabweichung ist somit ein Risikomaß (Volatilität)

1.2.2 Stetige Zufallsvariable

Beispiel: Gleichverteilung (EX=(a+b)/2)

1.2.3 Eigenschaften der Varianz

• VAR(X) = EX² – (EX)²
• Y=a+X ->VAR(Y)=VAR(X)
• Y=b*X ->VAR(Y)=b²*VAR(X)
• Z=X+Y ->wenn X und Y stochastisch unabhängig, dann gilt: VAR(Z)=VAR(X)+VAR(Y)

1.3 Grenzwertsätze

1.3.1 Gesetz der großen Zahlen

Eine Folge von Zufallsvariablen X₁..X_n, die stochastisch unabhängig und identisch verteilt sind und einen Erwartungswert EX_i= hat, strebt im arithmetischen Mittel bei hinreichend großem n gegen .

->

Beispiele:

Zahl der Unfälle pro Tag. Wenn im Mittel Unfälle pro Tag passieren, so wird bei einer hinreichend großen Anzahl von Tagen das arithmetische Mittel der Unfälle sich nähern.

Gleiches gilt für die Wahrscheinlichkeit eines ungedeckten Schecks. Ist die Wahrscheinlichkeit im Mittel p dann wird sich das Mittel der geplatzten Schecks bei einer hinreichend großen Zahl diesem Wert p nähern.

1.3.2 Zentraler Grenzwertsatz

X₁..X_n sind stochastisch unabhängig und identisch verteilt mit X_i=

Es gilt für ein hinreichend großes n:

• Die Summe der X_i ist näherungsweise normalverteilt mit Y_n=X₁+..+X_n und EY_n=n*.

Es gilt weiterhin:

Beispiel: Schecks:

• Ein Kaufhaus erhält am Tag 900 Schecks
• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Scheck ungedeckt ist: p=P(ungedeckt)=0,02
• Gesucht: P(X<10) ->Wahrscheinlichkeit, dass unter den 900 Schecks max. 10 ungedeckt sind
• X entspricht einer Binomialverteilung mit n=900 und p=0,02
• Einsetzen in die Formel der Normalverteilung nicht sinnvoll
• Daher X=X₁+...+X_n mit X_i={0, wenn gedeckt und 1, wenn ungedeckt}
• X ist näherungsweise normalverteilt, da stochastisch unabhängig
  -> , d.h. erwartet werden 18 ungedeckte Schecks
• Varianz: (Formel lt. Tafelwerk, für Binomialverteilung)
• Nach dem zentralen Grenzwertsatz genügt X einer Normalverteilung, d.h. P(X<10) wird über die Normalverteilung ermittelt
  ->Normierung von X:
  -> , d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 10 Schecks ungedeckt sind, liegt bei 2,9%.