1 Die Zufallsvariable und ihre Verteilungen

1.1 Der Begriff der Zufallsvariable

• Als Zufallsvariable X wird eine Abbildung bezeichnet, die jedem möglichen Ereignis eines Zufallsvorganges eine reelle Zahl zuordnet.
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• Rechnen mit der Zufallsvariable bietet sich an, wenn es sich um sehr viele Ereignisse handelt (Unfälle) oder die Zahl der Ereignisse nicht festlegbar ist (Wartezeit an der Kasse)
• Jedes Ereignis läßt sich in eine reelle Zahl umwandeln (z.B. Kopf=1 und Zahl=0 beim Münzwurf)
• Diskrete Zufallsvariable: Wertebereich ist endlich oder abzählbar (ganze Zahlen, z.B. Zahl der Unfälle)
• Stetige Zufallsvariable: Wertebereich überabzählbar (reelle Zahlen, z.B. Wartezeit)
• Nährungsweise stetig: große Geldbeträge, da es sich hier durch marginale Pfennigbeträge um sehr sehr viele Ereignisse handelt.

1.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete Variablen

1.2.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Verteilungsfunktion:

->F(2,5)=p₀+p₁+p₂

Problem: Durch die Begrenzung der Beobachtungswerte können nicht alle möglichen Ereignisse erfasst werden. Daher sind diese Berechnungsmethoden nur näherungsweise.

1.2.2 Binomialverteilung der diskreten Zufallsvariable

Voraussetzungen:

1. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis ist gleich.
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2. Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig

Beispiel:

Ein Händler erhält im Laufe eines Tages n Schecks. X ist die Zahl der ungedeckten Schecks unter den n erhaltenen.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion p_k=P(X=k) mit k=0,1,2,...,n.

X=X₁+X₂+...+X_n

1.2.3 Hypergeometrische Verteilung diskreter Zufallsvariablen

Beispiel:

Gütekontrolle von CD-Rohlingen

Hersteller verspricht, dass sich in einer Packung à 100 Stk. max. 3 defekte Rohlinge befinden.

Abnehmer prüft n Stück aus einer Packung. X ist dabei die Zahl der defekten Rohlinge in der Stichprobe.

N=Umfang der Gesamtheit (Packungsinhalt)

M=Anzahl der defekten Einheiten in der Gesamtheit (Annahme: ungünstigster zulässiger Fall für den Hersteller, d.h. 3 Stück)

n=Stichprobenumfang

Betrachtete Stichprobe: N=100; M=3 und n=10

->Ergebnis: Sollte der Hersteller eine Probe mit 3 defekten Rohlingen haben, so sind Zweifel an der Glaubwürdigkeit der Herstellerangaben zu stellen
->Die Toleranzgrenze, damit eine Angabe als realistisch erscheint, liegt bei 5%

Binominalverteilung: jedes Element wird nach Prüfung wieder in die Menge zurückgelegt

Hypergeometrische Verteilung: jedes Element wird nach der Prüfung nicht zurückgelegt

1.2.4 Poisson-Verteilung

->für Zufallsvariablen, für die kein Maximalwert feststellbar ist (z.B. Anzahl der Autounfälle, Zahl von Rohrbrüchen oder Anrufen)