1 Tilgungsrechnung

Bei einer Tilgungsrechung wird eine Schuld (S) durch eine regelmäßige Rückzahlung wieder zurückgezahlt. Dabei unterscheidet man die Ratentilgung und die Annuitätentilgung. Bei der Ratentilgung wird von der Schuld pro Zahlung ein bestimmter Betrag getilgt und die Zinsen werden zusätzlich gezahlt. Dabei werden die Zinsen immer anhand der Restschuld berechnet, so das die monatliche Zahlungen immer kleiner werden, da durch die sinkende Restschuld die Zinsen auch immer geringer werden.
Bei der Annuitätentilgung hingegen bleibt die Rückzahlungsrate über die gesamte Laufzeit konstant. Dies hat zur Folge, das am Anfang der Betrag der zur Schuldentilgung verwendet wird noch relativ klein ist, da die Zinsbeträge noch relativ hoch sind.

Insgesamt existiert zwischen den Zinsen, der Tilgung pro Zahlung und der Annuität folgender Zusammenhang:

A_i = T_i + Z_i

Das heißt bei konstanter Annuität (A_i=konst.) werden bei hohen Zinsen (Z_i) am Anfang die Tilgungsbeiträge (T_i) relativ klein ausfallen. Umgekehrt wird die Annuität bei konstanter Tilgungsrate am Anfang relativ hoch ausfallen. In der Praxis ist die Annuitätentilgung weiter verbreitet, da sie einen monatlich konstanten Rückzahlungsbetrag ermöglicht und die Anfangsbeiträge nicht so hoch sind wie die bei der Ratentilgung. Nachteil dabei ist die über die gesamte Laufzeit gesehen höhere Zinsbelastung.

1.1 Ratentilgung bei jährlicher Zahlung

Da die Tilgungsrate konstant ist, muß bei vorgegebener Laufzeit lediglich die Gesamtschuld durch die Anzahl der Jahre geteilt werden, damit man die Höhe der Tilgungsrate erhält. Dies ist möglich, da die Zinsen immer bei der jeweiligen Zahlung auf den Betrag hinzugerechnet werden und somit auch sofort beglichen werden.

T = Tilgungsrate = konstant

N = Tilgungsdauer in Jahren

S = Gesamtschuld

T= S / N

-> Restschuld nach i-Jahren: S_i = S- i* T

Durch ersetzen von T durch S / N und Ausklammern von S erhält man:

-> S_i = S * ( 1 – i / N )

Die Zinsen bei der i-ten Rückzahlung ergeben sich durch Aufzinsung des Betrages S_i-1:

-> Z_i = S_i-1 * p / 100

Durch einsetzen von S_i-1 in die Restschuldformel ergibt sich:

-> Z_i = S * ( 1 - (i – 1)/N ) * p / 100

Die Annuität beträgt dementsprechend: A_i = T + Z_i

Die Summe der Zinsen ergibt sich, indem man die Wert für Z_i aufaddiert:

Z = Z₁ + Z₂ + ... + Z_N
-> Z = s*p/100 + (1-1/N)*s*p/100 + ... + (1-(N-1)/N)*s*p/100
Durch Ausklammern von s*p/100 erhält man:

-> Z = s*p/100 (1 + 1-1/N + ... + 1- (N-1)/N)

-> Z = s*p/100 (N - (1/N + 2/N + ... + (N-1)/N))

^{arithmetische Reihe}

-> Z = s*p/100 (N – (N-1)/2 * ( 1/N + (N-1)/N ))

-> Z = s*p/100 (N+1)/2

1.2 Annuitätentilgung bei jährlicher Zahlung

Bei der Annuitätentilgung wird bei jeder Zahlung der gleiche Betrag zurückgezahlt, bis die Schuld erloschen ist. Man kann dieses Tilgungsverfahren somit mit der Rentenrechnung vergleichen. Auch hier besteht ein Basiskapital, bei der Tilgung entsprechend die Schuld, welches regelmäßig um einen festen Betrag (Rente bzw. Annuität) verringert wird, bis das Basiskapital, bzw. die Schuld gleich Null ist.

-> Die Restschuld nach i Jahren lässt sich mit der Formel des Restkapitals nach n Jahren bei der Rentenzahlung berechnen:

S_i = S*qⁱ – A* (qⁱ-1)/(q-1)

Die Zinsen für ein Jahr ergeben sich aus dem Wert S_i-1, d.h. dem Wert, der am Anfang des Jahres als Restschuld besteht und dem Zinssatz p:

Z_i = S_i-1 * p/100 = S_i-1 * (q-1)

Die Dauer der Tilgung wird mit N bezeichnet. Will man nun die Gesamtzinsen über die Laufzeit berechnen, so muß man vom insgesamt zurückgezahlten Betrag (Annuität * Tilgungsdauer) die eigentliche Schuld abziehen:

Z = N * A – S

Ist N bekannt, aber die Annuität gesucht, kann man aus der Formel für die Restschuld die Annuität berechnen, indem man i gleich N setzt. Da nach N Jahren die Schuld getilgt ist, ist S_i folglich 0 und durch Einsetzen und Umstellen erhält man:

A = S*q^N * (q-1)/(q^N-1)

Umgekehrt kann bei bekannter Annuität mit dieser Formel auch die Laufzeit bestimmt werden, indem man nach N umstellt.

1.3 Annuitätentilgung bei unterjähriger Zahlung

Analog zur jährlichen Rückzahlung von Schulden, kann auch die unterjährige Rückzahlung auf die Rentenzahlung zurückgeführt werden. Auch hier steht ein Startkapital zur Verfügung, welches in regelmäßigen Beträgen wieder zurückgeführt wird. Es wird dabei lediglich die Rente r durch die Annuität a ersetzt. Die Tilgung erfolgt nachschüssig, da ansonsten von der Schuld bereits die erste Annuität abgezogen werden könnte. Es ergeben sich daher folgende Zusammenhänge, deren Herleitung bereits in der Rentenrechnung ausgeführt wurden.