1 Zinseszinsrechnung
1.1 Verzinsung einmaliger Einzahlungen
1.1.1 Jährliche Verzinsung
Beispiel: Bundesschatzbriefe über einen Zeitraum von 6 Jahren
Verzinsung:
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Jahr
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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Zinsen
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2,5
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2,75
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3
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3,25
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3,5
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4
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q
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1,025
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1,0275
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1,03
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1,0325
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1,035
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1,04
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Gesucht ist das Endkapital nach 6 Jahren.
Anlagebetrag: 20000
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Zinseszinsrechnung und Berechnung des eff. Zinssatzes
k0=Anlagebetrag
kn=Kapital nach n-Jahren
p=eff. Zinssatz
pn=Zinssatz im n-ten Jahr
q=Aufzinsungsfaktor =1 + p/100
->kn=k0*q1*q2*...*qn
-> da kn=k0*qn -> q=n-te-Wurzel(kn/k0) -> p=(q-1)*100
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Der angesparte Betrag ist nach der Berechung mit den 6 verschiedenen Zinswerten 24112,19.
Nach dem Einsetzen in die Formel für den effektiven Zinssatz erhält man einen effektiven Zins von 3,1655%.
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Aufzeichnungsinfo vom 20.10.00
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Thema:
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Zinseszinsrechnung und Rentenrechnung
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Bezug:
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Vorlesung 13.10.00
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Anlagen:
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1.1.2 2.1.2. unterjährige Verzinsung
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Zinseszinsrechnung und Berechnung des eff. Zinssatzes bei unterjähriger Verzinsung
k0=Anlagebetrag
kk,n=Kapital nach k-Zinsperioden im n.-Jahr
p=nomineller Jahreszins -> p/m=Zins pro Periode =pm
m=Anzahl der Zinsperioden im Jahr
qm=Aufzinsungsfaktor pro Periode =1 + pm/100
->kk,n=k0*qm(n-1)*m+k
-> effektiver Jahreszins: qeff=(qm)m -> peff=(qeff-1)*100
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-> Das Kapital nach 4 Jahren und zwei Zinsperioden ist k2,5. Die „2“ steht dabei für die 2 Zinsperioden, die „5“, für das Jahr, da es das 5. Jahr ist.
1.2 Regelmäßige Einzahlungen
1.2.1 Jährliche Einzahlungen bei jährlicher Verzinsung
Herleitung: Ein regelmäßiger Betrag wird pro Jahr auf ein Konto eingezahlt. Geschieht dies am Anfang des Jahres wird vorschüssig gezahlt. Geschieht es am Ende, wird nachschüssig gezahlt.
Bei vorschüssiger Einzahlung eines gleichbleibenden Betrages E ergibt sich folgende Formel:
kn=E*qn + E*qn-1 + ... +E*q, da der erste Beitrag n-Mal und der letzte ein Mal verzinst wird.
Geometrische Reihe
->kn=E*q* (qn-1)/(q-1)
Bei nachschüssigen Einzahlungen wird der erste Beitrag im ersten Jahr nicht mehr verzinst und der letzte Beitrag gar nicht, weil sie jeweils zum Jahresende erst eingezahlt werden.
Es erfibt sich daher folgende Formel:
kn= E*qn-1 + E*qn-2 +... +E,
Geometrische Reihe
->kn=E* (qn-1)/(q-1)
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Verzinsung jährlicher Einzahlungen bei jährlichen Zinsen
E=Einzahlung pro Jahr
kn=Kapital nach n-Jahren
p=eff. Zinssatz
q=Aufzinsungsfaktor =1 + p/100
->vorschüssige Einzahlungen
-> kn=E*q* (qn-1)/(q-1)
->nachschüssige Einzahlungen
->kn=E* (qn-1)/(q-1)
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1.2.2 Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Verzinsung
Beispiel monatlicher Einzahlungen:
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Januar
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Februar
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...
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Dezember
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Verzinsung bei vorschüssiger Einzahlung
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p
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p*(m-1)/m
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p/m
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Verzinsung bei nachschüssiger Einzahlung
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p*(m-1)/m
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p*(m-2)/m
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0
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->Guthaben nach einem Jahr bei vorschüssiger Zahlung
k1=E*(1+p/100) + E*[1+p*(m-1)/(100*m)] + ... + E*[1+p/(100*m)]
Nach dem Ausmultiplizieren stellt man fest, dass das E genau m-Mal vorhanden ist und man bei den sonstigen Summanden noch E und p/100 ausklammern kann. Es ergibt sich folgende Formel:
k1=m*E + E*[1+(m-1)/m + ... + 1/m] * p/100
arithmetische Reihe
-> k1=m*E + E*(m+1)/2 * p/100
Nach Ausklammern von E erhält man:
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-> k1=E*[m+(m+1)/2 * p/100]
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Bei nachschüssigen Einzahlungen erhält man folgende Formel bei gleichem Vorgehen:
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-> k1=m*E + E*(m-1)/2 * p/100
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Nachdem k1 berechnet ist, kann man kn wieder nach der Formel für nachschüssige jährliche Einzahlungen berechnen, da die Zinsen für das erste Jahr ja bereits in k1 enthalten sind.
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Skripte 
