1 Folgen und Reihen
1.1 Beispiele
a) Gehaltsentwicklung eines neu eingestellten Mitarbeiters
Anfangsgehalt: 4000,-EUR
Alle drei Monate erfolgt eine Erhöhung um 50,-EUR
-> Zahlenfolge der Gehälter: 4000,4000,4000,4050,4050,4050,4100,4100,...
-> Dies ist eine Folge {an}, wobei an die Glieder der Folge sind
Daraus gilt es nun eine Vorschrift zu entwickeln:
1. Variante – Ermittlung eines Folgegliedes
an+1=an, wenn n nicht durch 3 teilbar, sonst an+1=an+50
2. Variante – Allgemeine Vorschrift
an = Anfangsgehalt+[(n-1)*⅓]*50, wobei [..] für den ganzzahligen Anteil dieser Operation steht
-> an=4000+[(n-1)*⅓]*50
b) Hausratsversicherung
Startbeitrag: 150EUR
Dynamisierung: 3%
-> an+1=an*1,03
-> an=150*1,03n-1
1.2 Arithmetische Folgen und Reihen
1.2.1 Beispiel
Startgehalt eines Arbeiters ist 4000EUR
Erhöhung um 50EUR alle 3 Monate
Gesucht ist das Jahresgehalt -> an = Jahresgehalt im n-ten Jahr
Jahresgehalt= Startgehalt*12 + 3*50 (erste Erhöhung) + 3* 100 (zweite Erhöhung) + 3*150 (dritte Erhöhung)
-> a1=12*4000+3*50+3*100+3*150=48900EUR
-> a2=12*4200+3*50+3*100+3*150=51300EUR
-> a3=12*4400+3*50+3*100+3*150=53700EUR
->Das Grundgehalt wächst pro Jahr um 200EUR (4 Erhöhungen a 50EUR) und während des Jahreskommen noch 900EUR an Zahlungen durch die Erhöhungen hinzu.
->an+1=an+2400
->an=48900+(n-1)*2400
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Eine Arithmetische Folge hat stets die Form
an=a+(n-1)*d
Durch den linearen Anstieg ergibt sich zudem folgende Gesetzmäßigkeit:
an=(an+1+an-1) / 2
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1.2.2 Beispiel
Abschreibungen eines Gerätes
Neupreis: 96000EUR
Wertverlust im ersten Jahr: 12,5%
Der Wertverlust verringert sich in den Folgejahren um jährlich 800EUR
an=Abschreibung im n-ten Jahr
-> an=12000 (Abschreibung im ersten Jahr) – (n-1)*800
Daraus ergibt sich, dass der Restwert wiefolgt berechnet wird:
-> Rn= 96000-(a1+a2+...+an)
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Die Werte einer arithmetischen Folge bilden eine arithmetische Reihe
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Sn=a1+...+an
Sn=12000-12000-800-12000-1600-12000-2400-...
Sn=12000-800*(0+1+2+3+4+...+(n-1))
->sn=12000-800*(n-1)*n/2
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Die Form einer arithmetischen Reihe lautet:
sn=n/2 *(a1+an)
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1.3 Geometrische Folgen und Reihen
1.3.1 Beispiel
Festzinssparen eines Betrages von 10000EUR bei jährlich 5% Zinsen
an=Guthaben nach n Jahren
->an+1=an*1,05 -> q=an+1/an=konst.
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Bei einer arithmetischen Folge ist stets die Differenz zweier benachbarter Werte gleich.
Bei einer geometrischen Folge ist stets der Quotient zweier benachbarter Werte gleich.
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Eine geometrische Folge hat stets die Form:
an=a*qn-1
Er herrscht zudem folgende Gesetzmäßigkeit:
an=Wurzel(an-1*an+1)
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Wann haben sich die 10.000EUR aus dem Festzinssparen um 50% erhöht?
->an=10.000*1,5=15000
Rechenweg:
15000=10000*1,05n-1 |:10000
1,5=1,05n-1 |ln
ln(1,5)=(n-1)*ln(1,05) |:ln(1,05)
ln(1,5)/ln(1,05)=n-1 |+1
9,31=n
-> Der Wertzuwachs um 50% ist nach 10 Jahren erreicht.
1.3.2 Beispiel: Bausparbetrag
Ansparphase: Zinssatz=2,5%; Einzahlung 2000EUR am Anfang des Jahres
Gesucht ist das Guthaben nach n-Jahren
q=1,025
a=2000
-> sn= a*qn-1 + a*qn-2 + a*qn-3 + ... + a*q0
1.Jahr 2.Jahr 3.Jahr n-tes Jahr
Der Exponent gibt jeweils an, wie viel mal das Geld verzinst worden ist. Im n-ten Jahr ist noch keine Verzinsung erfolgt, so das der Exponent hier gleich Null ist.
Um nun eine Vorschrift zu bilden multipliziert man die obere Formel mit q.
-> (1) sn= a + aq + aq2 + ... + aqn-1
(2) sn*q= + aq + aq2 + ... + aqn-1 + aqn
(2)-(1) sn*q-sn= a*qn-a
-> sn*(q-1) = a*(qn-1)
-> sn = a*(qn-1) / (q-1)
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Eine geometrische Reihe hat die allgemeine Bildungsvorschrift:
sn = a*(qn-1) / (q-1)
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Somit ergeben sich als Guthaben nach 5 bzw. 10 Jahren:
n=5: sn=10512,66
n=10: sn=22406,76
Wann ist eine Summe von 30000EUR angespart?
sn=30000
30000 = 2000* (1,025n-1) / (1,025-1) |:2000
15 = (1,025n-1) / 0,025 |*0,025; +1
1,375 = 1,025n |ln
ln(1,375)= n*ln(1,025) |:ln(1,025)
n = 12,896
-> Nach 13 Jahren ist ein Betrag von 30.000EUR angespart.
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Skripte 
